Prefacio Capítulo 1 - Problemas elementales 1.1 Aritmética *Reparto justo- Extra: Reparto de cajas de galletas*Una simple fracción -Extra: Fracciones mediadoras*Una suma larga-Extra: La suma de una progresión aritmética*Sumas de enteros consecutivos -Extra: Encontrando un polinomio*Sumando y restando-Extra: Identidades curiosas*¿Cuál es mayor? -Extra: Una ecuación diofántica*Reducir el tamaño-Extra: Buscando la descomposición en factores primos*Dígitos ordenados-Extra: Dígitos ordenados en un cuadrado*¿Cuál es el siguiente término?- Extra: La enciclopedia on-line de sucesiones de enteros1.2 Álgebra *¿Cómo lo sabe? -Extra: Magia con el reloj*¿Cuánto frío hacía?-Extra: De Celsius a Fahrenheit*Hombre contra tren -Extra: La suma de una serie geométrica*Cuesta arriba y cuesta abajo-Extra: Medias potenciales*¿Cuántas soluciones?- Extra: Distribuciones, particiones y la estimación de Schur1.3 Geometría *Un cuadrilátero en un cuadrilátero-Extra: Una demostración vectorial*El teorema de Pitágoras -Extra: Una demostración solo con un triángulo*Bloques de construcción -Extra: Otro triángulo notable*Una desigualdad geométrica-Extra: Una lúnula cuadrable*Un problema de empaquetamiento-Extra: Cubrimientos con cuadrados unidad*¿Cuál es el área?- Extra: Cálculo por series geométricas*Volumen de un tetraedro -Extra: Grupos de simetrías*¿Es f irracional? - Extra: Irracionalidad de *Tangente de una suma-Extra: Polinomios simétricos elementales1.4 Sin necesidad de cálculo*Un camino en zigzag-Extra: Otro camino en zigzag*Una pila de círculos-Extra: Una suma de áreas*El campo de un granjero-Extra: Una lata de área mínima*Compostaje, un tema candente -Extra: La desigualdad MA-MG*Tres senos -Extra: Funciones convexasCapítulo 2. Problemas de nivel intermedio 2. 1 Álgebra *Pasando el tiempo-Extra: ¿Qué sucede con el segundero?*Sumando hasta 1 000 000-Extra: Sumando hasta cualquier número*Un determinante impar-Extra: ¿Dentro o fuera? *Se busca polinomio - Extra: La fórmula de interpolación de Lagrange2. 2 Geometría *¿Cuánto mide el lado? -Extra: Soluciones enteras*El teorema de Napoleón -Extra: Una demostración algebraica*Un grafo en una rosquilla -Extra: El género de un grafo*Puntos alrededor de una elipse -Extra: El mismo problema para hipérbolas y parábolas*Tres puntos fijos -Extra: Isometrías del plano*Girando y girando-Extra: Un paralelogramo fundamental*Simetrías y giros -Extra: Teselando con triángulos*Cortando y pegando triángulos -Extra: Una familia de triángulos emparejados*Cortando galletas-Extra: El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien*Crédito de revolución - Extra: El caso del paralelogramo giratorio2.3 Cálculo infinitesimal *La serie armónica-Extra: Estimando la suma armónica *Una integral rápida -Extra: Otra integral rápida*La suma de Euler -Extra: La probabilidad de que dos números sean primos entre sí*Alfombrando con bandas -Extra: Cuatro triángulos esféricos*¿Vale 0? -Extra: El último teorema de Fermat*Pi es pi - Extra: La irracionalidad de p2.4 Probabilidad *¿Cuántos cumpleaños? -Extra: El número medio de puntos fijos de una permutación*El promedio de puntos-Extra: Tiempo medio de espera*Bolas restantes en una urna-Extra: Un problema de dos urnas*Puntos aleatorios en una circunferencia -Extra: Arcos aleatorios en una circunferencia*El algoritmo devorador - Extra: Número promedio de ciclos de una permutación2.5 Teoría de números *Números triangulares cuadrados -Extra: Ecuaciones de Pell*Astuto factorial -Extra: Criterios de divisibilidad*Siempre compuesto-Extra: El Folium de Descartes*Un problema de unos-Extra: Un gúgol*Un problema de doses-Extra: La función de Ackermann*Un problema de treses -Extra: El algoritmo de la raíz cuadrada*Fibonacci al cuadrado-Extra: Potencias de los números de Fibonacci*Una delicia en el triángulo de Pascal-Extra: La identidad de la subcomisión*Un entero poco evidente-Extra: El pequeño teorema de Fermat *Cuadrados mágicos-Extra: El método LUX de Conway*En igualdad de circunstancias- Extra: El paso a los números reales2.6 Combinatoria *¡Ya sé ordenar alfabéticamente!-Extra: Una identidad instantánea*Embalando animales en una caja-Extra: Embalando animales 3-D*El lado ¡Ajá! -Extra: Choques elásticos lineales*Rectas que dividen al plano-Extra: El número correcto de pedidos*Un número que cuenta*Extra: Otros enteros enormes*Un cuentakilómetros estropeado -Extra: Derivada e integral finitas*¿Cuántas matrices?-Extra: Sumas de fila arbitrarias*Montones de permutaciones-Extra: Promedios enteros*Parquino y Nonino-Extra: Variaciones del juego*Tres en raya en dimensiones superiores -Extra: Una estrategia general de empate*La salsa de la vida-Extra: Un método basado en cuerpos finitos*El lema de Sperner-Extra: El teorema del punto fijo de Brouwer*Una serie infinita -Extra: Funciones generatrices racionales*Cambio de un euro -Extra: Más cambios de un euro*Caminos de torres-Extra:Una función generatriz para la diagonal Capítulo tres Problemas avanzados 3.1 Geometría *Polígonos con autointersecciones-Extra: Transformaciones sin intersecciones*Símplices regulares-Extra: Vértices en un retículo *n2 + 1 intervalos cerrados- Extra: El lema de Dilworth3.2 Probabilidad *Lanzando un millón de monedas -Extra: La función de entropía*Bits de la suerte -Extra: La capacidad de un canal*Un juego para matemáticos introvertidos- Extra: El problema del sombrero3.3 Álgebra *Una matriz de enteros con determinante 1-Extra: Los números de Catalan módulos 2 y 3*¿Solo 1, -1, 0? -Extra: Polinomios ciclotómicos planos*168 elementos -Extra: Una teselación del plano hiperbólico3.4 Teoría de números *Números combinatorios impares-Extra: La fórmula de De Polignac*Factores de Fibonacci-Extra: Números repetidos en el triángulo de Pascal*Sistemas de cubrimiento exacto -Extra: Nunca primo*Un polinomio que produce números de Fibonacci -Extra: El décimo problema de Hilbert*La sucesión de Perrin - Extra: El teorema fundamental de los polinomios simétricos3.5 Triángulos enteros -Extra: La sucesión de Alcuino*Vaya cisco de torneos-Extra: El método probabilístico*Resolviendo sudokus-Extra: Enlaces danzarines*El juego SET-Extra: Un problema combinatorio*Grafos de cuello cinco -Extra: El grafo de Hoffman-Singleton*Grafos no etiquetados-Extra: Grafos asimétricos Caja de herramientasBibliografía Índice alfabético de autoresAcerca del autor
A cualquier matemático, tanto principiante como aficionado o profesional, le emociona encontrar soluciones sencillas y elegantes para problemas aparentemente difíciles. Estas soluciones "felices" son denominadas "soluciones ¡Ajá!", una expresión popularizada por el matemático y científico Martin Gardner.Este libro consta de 100 problemas con soluciones ¡Ajá! de aritmética, geometría, álgebra, cálculo, probabilidad, teoría de números y combinatoria. Al principio son fáciles y se van volviendo más difíciles, a medida que se avanza.Además cuenta con problemas extras que se resuelven con técnicas similares a las utilizadas en el problema al que acompañan. Y si el lector no recuerda una definición o un concepto matemático, puede consultar la "Caja de herramientas" que aparece al final.Esta colección de problemas con soluciones ¡Ajá! puede resultar de interés para alumnos, profesores y todo aquel a quien le gusten los retos matemáticos. Las soluciones ¡Ajá! son sorprendentes, impresionantes y brillantes: revelan la belleza de las matemáticas.
